解析几何学习笔记
考点1.直线
定义：
一般式：$Ax+By+C=0$ (A,B,C为常数，AB不同时为0)
点斜式：过 $(x_0,y_0)$ ，斜率为 $k$ : $y-y_0=k(x - x_0)$
斜截式：过 $(0,b)$ ，斜率为$k$ : $y = kx+b$
两点式：过 $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ : $\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}$
截距式：过 $(a,0)$ , $(0,b)$:$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
注意点：使用截距条件时要注意过原点的直线。
斜率 $k$ : $k=\tan \theta$
直线的相关关系：
设两直线为：$A_1x+B_1y+C_1=0$,$A_2x+B_2y+C_2=0$
垂直：$A_1* A_2+B_1*B_2=0$
平行：$ A_1B_2-A_2B_1=0 $
距离问题
两点距离：$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
点到直线距离：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
两条直线之间的距离：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
爆算吧
对称问题
点关于某点对称：利用中点坐标公式解方程
点关于某条直线对称：
1.设其对称点坐标
2.对称点和已有点中点在直线上，两点连线与直线垂直
3.解方程
线关于点对称：斜率不变，对称一点代入
线关于线对称：求出两线交点，选择一点对称，两点解出直线。
主要内容：爆算
考点2 椭圆
定义：
第一定义
平面上两不同点的距离和为定值的点的集合。
定点：焦点
两焦点之间的距离：焦距（$2c$）
距离和：$2a$
第二定义
定点和准线距离之比为离心率$e=\frac{c}{a}\ (0<e<1) $ 的点的集合
准线方程：$x=\frac{a^2}{c}$
第三定义
与平面两点连线斜率乘积满足$k_{PA}*k_{PB}=-\frac{a^2}{b^2}$的点的集合。（A、B为椭圆和x轴交点）
方程
标准式
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b>0)$（焦点在x轴上）
$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1(a > b>0)$（焦点在y轴上）
一般式
$mx^2+ny^2=1 (m > 0,n > 0,m \neq n)$
这里如果不加限制的话，此方程可以表示圆、椭圆、直线、双曲线。
参数式
$$
$$
$$
\begin{matrix}
x=acos\theta \
y=bsin\theta
\end{matrix}
$$
对于各种求方程的题目，均可以利用以上几个方法建立方程。
对于给出两焦点和一个椭圆上的点的问题，可以求出c=>把$b^2$用$a^2-c^2$表示=>代入点求出方程
对于给两点的问题，建议使用一般式
对于给出一个方程，说另一个方程公用焦点的问题，建议求出焦点后按照第一类方法完成。
对于最值问题，可以尝试参数方程。
几何性质和几何量
对称性：关于x、y轴和原点对称
范围：$-a < x < a $，$ -b < y < b $
顶点 $A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b)$
轴长：长轴 $=2a$，短轴 $=2b$
焦距 $=2c$
准线：$x=\pm\frac{a^2}{c}$
通径：过焦点的垂线与椭圆两个交点连线长度 $\frac{2b^2}{a}$
焦准距：焦点到准线的距离$\frac{b^2}{c}$
焦半径：焦点到椭圆上某点连线长度。变量。$|PF_1|=a-ex,|PF_2|=a+ex$
离心率：$e=\frac{c}{a}$
特征三角形
常用方法
- 数形结合
- 待定系数法
- 分类讨论（讨论焦点位置）
- 计算基本功
- 设而不求
- 利用不等式求最值
- 几何关系推导
- 直线与椭圆的位置关系：联立，算$\Delta$，若$\Delta > 0$，相交，若$\Delta = 0$，相切，若$\Delta < 0$，相离。还可以计算定点位置，如果在椭圆内部，则相交。否则分类讨论。
- 焦点三角形问题：
$$
令m=|PF_1|,n=|PF_2| \
$$
$$
S=\frac{1}{2}mn\sin\ \theta \
$$
$$
m+n=2a \
$$
$$
4c^2=m^2+n^2-2mn\cos\ \theta
$$ - 焦点三角形面积：$S=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}b^2=\tan \frac{\theta}{2}\ b^2$
- 点差法：解决中点相关问题
例题：椭圆$x^2/16+y^2/4=1$弦AB中点M坐标为$(2,1)$，求AB方程
设$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$。
代入椭圆方程。
$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0$
又$x_1+x_2=4,y_1+y_2=2$
$0.25+0.5k=0$
切线、切点弦问题
$$
Axx_0+Byy_0+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+F=0
$$
考点3 双曲线
定义
第一定义
在平面内到平面上两点距离差为定值（小于两点间距离）的点的集合。
第二定义
到平面上定点和定直线距离比例为定值$e=\frac{c}{a}(e>1)$的点的集合。
第三定义
和两定点连线斜率为定值$\frac{a^2}{b^2}$的点的集合
方程
标准方程
焦点在x上：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点在y上：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
其中 $a>0,b>0$
一般方程
$mx^2+ny^2=1$，其中$ mn<0 $
几何性质和几何量
- 对称性 关于x、y轴和原点对称
- 范围 $x\in (-\infty ,-a) \cup (a,+\infty) $，$ y \in \mathbb R $
- 顶点 $A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b)$
- 渐近线 $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$
- 轴长 实轴 :$2a$，虚轴 $=2b$
- 焦距 $2c$
- 准线 $x=\pm\frac{a^2}{c}$
- 焦准距 焦点到准线的距离$\frac{b^2}{c}$
- 焦半径 焦点到双曲线上某点连线长度。变量。$|PF_1|=ex-a,|PF_2|=a+ex$
- 离心率 $e=\frac{c}{a}$
- 特征三角形
常用方法
同椭圆
考点4 抛物线
定义
到定点和定直线距离相等的点的集合。
方程
$$
y^2=2px
$$
$$
x^2=2py
$$
几何性质和几何量
对称性：关于x轴对称
范围：$x>0 $
顶点 $O(0,0)$
准线：$x=-\frac p2$
焦准距：焦点到准线的距离$p$
焦半径：焦点到椭圆上某点连线长度。变量。$|PF|=x+\frac p2$
离心率：$e=1$
过焦点直线和抛物线产生两个交点，两交点间长度$x_1+x_2+p$
$|AF|=\frac{p}{1-cos\ \theta}$ $|BF|=\frac{p}{1+cos\ \theta}$ $|AB|=\frac{2p}{sin^2\ \theta}$
过焦点直线和抛物线产生两个交点，以这两个点为直径的圆和准线相切
常用技巧
- 有直线和抛物线时，设抛物线上的点坐标。设次数高的，把另一个表示出来，可以大大减少计算量
- 处理最值问题时，尝试将焦半径和到准线距离相互转化